Função Quadrática

  Definição

    Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.
    Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

1. f(x) = 3x² - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
2. f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
3. f(x) = 2x² + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
4. f(x) = - x² + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0
5. f(x) = -4x², onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico

    O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax² + bx + c, com a 0, é uma curva chamadaparábola.

Exemplo:

    Vamos construir o gráfico da função y = x² + x:
    Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x y -3 6 -2 2 -1 0 0 0 1 2 2 6

    Observação:

   Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax² + bx + c, notaremos sempre que:

• se   a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
• se   a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

Zero e Equação do 2º Grau

    Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax² + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

    Então as raízes da função f(x) = ax² + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

    Temos:

                    

Observação

   A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando ,  chamado discriminante, a saber:

• quando  é positivo, há duas raízes reais e distintas;
• quando  é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);
• quando  é negativo, não há raiz real.

Função Afim Crescente/Decrescente

As funções que são expressas pela lei de formação y = ax + b ou f(x) = ax + b, onde a e b pertencem ao conjunto dos números reais, com a ≠ 0, são consideradas funções do 1º grau. Esse tipo de função pode ser classificada de acordo com o valor do coeficiente a, se a > 0, a função é crescente, caso a < 0, a função se torna decrescente.

Vamos analisar as seguintes funções f(x) = 3x e f(x) = –3x, com domínio no conjunto dos números reais, na medida em que os valores de x aumentam.

Exemplo 1
f(x) = 3x

Note que à medida que os valores de x aumentam, os valores de y ou f(x) também aumentam, nesse caso dizemos que a função é crescente e a taxa de variação da função é igual a 3.

Exemplo 2
f(x) = –3x

Nessa situação, à medida que os valores de x aumentam, os valores de y ou f(x) diminuem, então a função passa a ser decrescente e a taxa de variação tem valor igual a –3.

Outro fato importante para designar uma função é o seu gráfico, note que quando a função é crescente o ângulo formado entre a reta da função e o eixo x (horizontal) é agudo (< 90º) e na função decrescente o ângulo formado é obtuso (> 90º).

Então, a função é crescente no conjunto dos números reais (R), quando os valores de x1 e x2, sendo x1 < x2 resultar em f(x1) < f(x2). No caso da função decrescente no conjunto dos reais, teremos x1 < x2 resultando em f(x1) > f(x2).

Função afim e graduações do termômetro.

Hoje estarei postando as perguntas e respostas da atividade de matemática , Páginas 117 e estarei mostrando para vocês como resolvi.

Página 117

20.Qual é a temperatura em Celsius que é a metade do valor correspondente em graus Fahrenheit?
Resposta:

C=(5/9).(F-32)

C=F/2 → F=2C

Substituindo na 1ª equação, F por 2C, fica:

C=(5/9).(2C-32)
C=(10C-160)/9
9C = 10C-160
10C-9C =160
C = 160

21.Qual é a temperatura Fahrenheit que é 5 vezes o valor da temperatura em graus Celsius?
Resposta:

Use a fórmula geral de conversão e faça F = 5C => C = F/5

(F - 32)/9 = C/5

Como C = F/5,

(F - 32)/9 = (F/5)5

(F - 32)/9 = F/25

25(F - 32) = 9F

25F - 800 = 9F

16F = 800

F = 800/16 = 50 ºF

22.Se um termômetro indica 120°F , qual é essa temperatura em graus Célsius?
Resposta:

C=5(F-32)/9    F=120º

C=5(120-32)/9

C=5. 88/9

C= 440/9

 C= 48,88ºC

23.Se um termômetro indica 50 °C qual é essa temperatura em graus Fahrenheit?
Resposta:

°F = °C × 1,8 + 32


°F = 50 x 1,8 + 32


°F = 90 + 32


°F = 122

24.Formule um problema usando as escalas Fahrenheit e Celsius.Depois, resolva-o.
Resposta:

PERGUNTA E RESPOSTA PESSOAL . Bruno Araújo

Qual o valor de 40° Celsius em graus Fahrenheit?

Solução: Como temos o valor em graus Celsius, basta aplica-lo na formula, realizar as operações para chegarmos ao valor em Fahrenheit, assim temos:

°F = (40 × 1,8) + 32
°F = 72 + 32
°F = 104

Ou seja, 40 graus Celsius equivalem a 104 graus Fahrenheit !


25. Uma barra de cobre é exposta a várias temperaturas. Seu comprimento "L" é exposta a varias temperaturas "C" , essa função pode ser expressa por uma função afim.

Resposta:

a) Determine "L" em função de "C" ( medida em graus Celcius ), a partir dos dados:
- C¹ = 15° C e L¹ = 76,45 cm;
- C² = 100º C e L² = 76,56 cm

76,56=a100+b
76,45=a15+b

Resolvendo o sistema, encontramos a=0,0013 e b=76,431 (valores arredondados). Logo a função para a resposta da letra a) fica assim:

L=0,0013C+76,431

b ) Como ficaria a lei da função se, em vez de adotarmos a escala Celcius, adotássemos a escala Fahrenheit ?


C=(F-32)/1,8

 Substituindo na sua função  temos:

L=0,0013[(F-32)/1,8]+76,43


Espero que tenham gostado do meu intendimento sobre o assunto.

FORMULAS USADAS:

grau Celsius grau Fahrenheit: °F= °C × 1,8 + 32
grau Fahrenheit grau Celsius: °C= (°F − 32) / 1,8
grau Celsius grau kelvin: K=°C + 273,15
grau kelvin grau Celsius: °C= K − 273,15 
grau kelvin grau Fahrenheit: °F= K × 1,8 - 459,67
grau Fahrenheit grau kelvin: K= (°F + 459,67) / 1,8

Video função quadrática

Função quadrática no nosso dia-a-dia

Um exemplo de função quadrática no nosso dia-a-dia, é você sentado no ônibus, jogando um chaveiro para cima e pegando de volta na mão.
Embora para você o chaveiro só vá para cima e para baixo, quem está de fora do ônibus consegue ver o chaveiro fazer um movimento de parábola (com concavidade para baixo), pois o ônibus se movimenta para frente; além do chaveiro ir para cima.

Vídeo ensinando um pouco

http://www.youtube.com/watch?v=uWOz4GB36GQ
Créditos: MrJorgeKrung

Aqui tem alguns exercícios para vocês resolverem de função quadrática

) Em cada um dos itens abaixo, ache o vértice, o eixo de simetria do gráfico e a imagem de cada uma das funções. Classifique o vértice como um ponto de máximo ou de mínimo da função dada.
(a)
(b)
(c)

(d)
(e)
(f)


Respostas


Exercício 2


Escreva cada uma das funções abaixo na forma padrão. Esboce o gráfico de cada uma delas identificando o vértice e o eixo de simetria.
(a)
(b)


Respostas

Exercício 3


Em cada um dos itens abaixo, use o discriminante para decidir o número de vezes em que o gráfico da função corta o eixo x .
(a)
(b)
(c)


Respostas

Exercício 4


Use a fórmula de Bhaskara para resolver as equações abaixo:
(a)
(b)
(c)


Respostas

Exercício 5


(a) Calcule o valor de m na equação de modo que uma de suas raízes seja 2.

(b) Calcule o valor de m na equação de modo que uma raiz seja o triplo da outra.

Respostas

Exercício 6


1) Em cada um dos itens abaixo, escreva as funções abaixo na forma fatorada, explicitando os pontos onde o gráfico da função intercepta o eixo x . Em cada caso encontre também as coordenadas do vértice da parábola.
(a)
(b)
(c)

(d)
(e) G(x) = 13 - x2
(f)


Respostas

2) A partir da experiência adquirida na resolução do item anterior, responda:

(a) Como as raízes da equação f( x ) = 0 estão relacionadas com os pontos onde o gráfico da função intercepta o eixo x ?


(b) Como o vértice de cada uma das parábolas acima está relacionado com as raízes da equação f( x ) = 0?

Respostas

3) Suponha que o gráfico de uma função quadrática intercepte o eixo x em (-2,0) e (8,0). Ache as coordenadas do vértice do gráfico desta função.


Respostas

Exercício 7


1) Resolva as seguintes inequações do segundo grau.
(a)
(b) > 0

(c)
(d)


Respostas

Problema 1


Em relação ao problema de estamparia de camisetas apresentado na Seção Motivação deste capítulo, o lucro mensal (ou prejuízo) L, obtido com a venda de x camisetas, era dado por L( x ) = - 0,005 + 13 x -1250. Use os conhecimentos adquiridos até aqui para encontrar o número de camisetas que devem ser vendidas para que o lucro obtido seja máximo.

Respostas

Problema 2


Ainda em relação ao problema da estamparia de camisetas, apresentado na Seção Motivação deste capítulo, vimos que o preço de vendas de x camisetas deverá ser fixado em reais por camiseta.

(a) Quantas camisetas deverão ser vendidas para que a renda obtida com estas vendas seja máxima?

(b) Este mesmo nível de vendas gerará um lucro máximo?

Respostas

Problema 3


Um fazendeiro tem 100 metros de arame para delimitar um curral de forma retangular. Quais as dimensões do curral para que a área cercada seja máxima?

Respostas

Problema 4


Suponha que o fazendeiro do problema anterior, decida construir o curral com aproveitamento da parede de um celeiro, de modo a cercar apenas três lados. Se x é o comprimento de um lado perpendicular à parede do celeiro, ache a área cercada como função de x . Qual o valor de x para que a área cercada seja máxima? Qual o valor da área máxima?

Respostas

Problema 5


Uma companhia de avião freta um avião de 50 lugares de acordo com as seguintes condições especificadas no contrato de afretamento:

(i) Cada passageiro pagará R$ 600,00 se todos os 50 lugares forem vendidos.

(ii) Cada passageiro pagará um adicional de R$ 30,00 por lugar não vendido.

Quantos lugares a companhia deverá vender para obter um lucro máximo?

Respostas

Problema 6


A água que está esguichando de um bocal mantido horizontalmente a 4 metros acima do solo descreve uma curva parabólica com o vértice no bocal. Se a corrente de água desce 1 metro medido na vertical nos primeiros 10 metros de movimento horizontal, a que distância horizontal do bocal irá atingir o solo?

Respostas

Problema 7


Considere um segmento AB de medida s . Diz-se que um ponto C , entre A e B , divide o segmento em média e extrema razão se . Esta divisão também é chamada de divisão áurea e o segmento AC é dito o segmento áureo ou seção áurea de AB. O número definido pelas razões (iguais) acima é denotado pela letra grega j e é chamado número áureo ou número de ouro. Desse modo, temos que j = .

(a) Se x é o comprimento do segmento AC , mostre que x é solução da equação .

A figura abaixo ilustra o método geométrico, usado por Euclides, para dividir um segmento em média e extrema razão.


Clique aqui para entender melhor esta construção.
(b) Sabendo que ABDE é um quadrado de lado s , F é ponto médio de AE , a medida do segmento FD é igual a medida do segmento FG , e que a medida do segmento GE é igual a medida do segmento AC , mostre que a construção de Euclides está correta.

(c) Um retângulo áureo é aquele cuja altura (lado menor) tem a medida do segmento áureo da base. Este tipo de retângulo tem sido considerado por artistas e arquitetos como o retângulo mais bem proporcionado e de grande valor estético. Na figura ao lado, prove que os retângulos EDHG e ABHG são áureos.

Link: [URL=http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap103.html]Aqui[/URL]

Irei postar uma introdução e um pouco do nosso próximo assunto
Função Quadrática

Definição

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:
f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0



Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.x y
-3 6
-2 2
-1 0

0 0
1 2
2 6




Observação:

Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:


se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;


se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;



Zero e Equação do 2º Grau

Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

  Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:



Temos:



Observação

A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber:


quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;


quando é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);


quando é negativo, não há raiz real.

Bem pessoal irei postar alguns diagramas para um melhor entendimento de uma Função Afim
Que é a função que estamos estudando atualmente

Uma função definida por f: R→R chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais tais que f(x)= ax + b para todo x ∈ R. A lei que define função afim é:



O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox.


Domínio: D = R
Imagem: Im = R